GEOMETRI ANALITIK : APLIKASI ELIPS, PARABOLA, DAN HIPERBOLA

Assalamualaikum Wr. Wb

Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah memberikan kita kesehatan dan nikmat yang tiada tara hingga detik ini :) Alhamdulillah kita dapat berjumpa kembali yaa.. 
 

Pada kesempatan kali ini kita akan sama-sama membahas tentang Aplikasi Elips, Parabola, dan Hiperbola dalam kehidupan sehari-hari. Teman-teman apakah kalian pernah mendengar dan melihat bentuk-bentuk dalam kehidupan nyata dari Elips, Parabola, dan Hiperbola ?? Nah, untuk lebih memahami lagi langsung simak saja yukk penjelasan dibawah ini ;)

1) ELIPS

Penerapan elips dalam kehidupan sehari-hari dapat dijumpai di berbagai macam sektor. Pada banyak kasus, hanya beberapa informasi dalam elips yang diketahui sehingga kita harus menentukan informasi-informasi yang hilang untuk dapat menyelesaikan permasalahan elips yang diberikan. Pada kasus lainnya, kita harus menulis kembali persamaan elips yang diberikan untuk menentukan informasi yang berhubungan dengan p, q, dan f.

Contoh 1 : Permasalahan Karakteristik Elips
Di Washington D.C., terdapat taman Ellips yang terletak di antara Gedung Putih dan Monumen Washington. Taman tersebut dikelilingi oleh suatu jalan yang berbentuk elips dengan panjang sumbu mayor dan minornya secara berturut-turut adalah 458 meter dan 390 meter. Apabila pengelola taman tersebut ingin membangun air mancur pada masing-masing fokus taman tersebut, tentukan jarak antara air mancur tersebut!

Pembahasan :
Karena panjang dari sumbu mayornya 2p = 458 maka kita peroleh p = 458/2 = 229 dan p² = 229² = 52.441. Sedangkan panjang sumbu minornya 2q = 390, sehingga q = 390/2 = 195 dan q² = 195² = 38.025. Untuk menentukan f, kita dapat menggunakan persamaan fokus.

Jadi, jarak antara kedua air mancur tersebut adalah 2(120) = 240 meter.

Contoh 2 : Prosedur Medis
Litotripsi merupakan suatu prosedur medis yang dilakukan untuk menghancurkan batu di saluran kemih dengan menggunakan gelombang kejut ultrasonik sehingga pecahannya dapat dengan mudah lolos dari tubuh. Suatu alat yang disebut lithotripter, berbentuk setengah elips 3 dimensi mengaplikasikan sifat-sifat dari titik fokus elips, digunakan untuk mengumpulkan gelombang ultrasonik pada satu titik fokus untuk dikirimkan ke batu ginjal yang terletak di titik fokus lainnya. Perhatikan gambar berikut.

Jika lithotripter tersebut memiliki panjang (sumbu semi mayor) 16 cm dan berjari-jari (sumbu semi minor) 10 cm, seberapa jauh dari titik puncak seharusnya batu ginjal tersebut diposisikan agar diperoleh hasil yang maksimal?
Pembahasan :
Dari soal, kita dapatkan panjang sumbu semi mayornya adalah q = 16, sehingga q² = 16² = 256 dan panjang sumbu semi minornya adalah p = 10, sehingga p² = 10² = 100. Dengan menggunakan persamaan fokus,

Sehingga, jarak titik puncak dengan titik fokus di mana batu ginjal diposisikan dapat ditentukan sebagai berikut.

Jadi, agar diperoleh hasil yang maksimal, batu ginjal tersebut seharusnya terletak pada jarak 28,49 dari titik puncak lithotripter.

2) PARABOLA
Seperti pada elips dan hiperbola, banyak sekali aplikasi parabola yang bertumpu pada definisi analitisnya daripada bentuk aljabarnya. Aplikasi-aplikasi tersebut, misalkan pembangunan teleskop radio dan perusahaan lampu senter, menggunakan definisi analitis parabola dalam penentuan lokasi fokus dari parabola tersebut. Berikut ini definisi analitis dari suatu parabola.

Contoh 1 : Menentukan Fokus dan Direktriks dari suatu Parabola
Tentukan titik puncak, fokus, dan direktris dari parabola yang didefinisikan oleh persamaan x² = –12y. Kemudian gambarkan grafiknya, disertai dengan fokus dan direktrisnya.
Pembahasan : 
Karena hanya suku-x yang dikuadratkan dan tidak ada pergeseran yang diterapkan, maka parabola tersebut merupakan parabola vertikal dengan titik puncak di (0, 0). Dengan membandingkan persamaan yang diberikan dengan persamaan umum parabola bentuk fokus-direktriks kita dapat menentukan nilai p:

Karena p = –3 (p < 0), maka parabola tersebut terbuka ke bawah, dengan titik fokus di (0, –3) dan direktriksnya y = 3. Untuk menggambar grafiknya, kita perlu beberapa titik tambahan yang dilalui oleh parabola tersebut. Karena 36 = 6² dapat dibagi oleh 12, maka kita dapat mensubstitusikan x = 6 dan x = –6, dan menghasilkan titik-titik (6, –3) dan (–6, –3). Sehingga grafik dari parabola tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.

Dari grafik di atas, kita dapat mengetahui bahwa garis x = 0 merupakan sumbu simetri dari grafik parabola yang diberikan.
Sebagai titik-titik alternatif dalam menggambar grafik parabola, kita dapat menggunakan apa yang disebut tali busur fokus dari parabola. Serupa dengan elips dan hiperbola, tali busur fokus adalah ruas garis yang melalui fokus, sejajar dengan direktriks, dan titik-titik ujungnya terletak pada grafik. Dengan menggunakan definisi dari parabola, jarak horizontal dari f ke (x, y) adalah 2p. Karena d₁ = d₂, maka ruas garis yang sejajar dengan direktriks dari fokus ke grafik memiliki panjang |2p|, dan panjang tali busur fokus dari sembarang parabola adalah |4p|.
Dan akhirnya, jika titik puncak dari suatu parabola vertikal digeser ke (h, k), maka persamaan dari parabola tersebut akan menjadi (x ± h)2 = 4p(y ± k). Seperti pada keluarga irisan kerucut lainnya, pergeseran vertikal dan horizontalnya berlawanan dengan tandanya (positif atau negatif).

Contoh 2 : Menentukan Persamaan dari suatu Parabola
Tentukan persamaan dari parabola yang memiliki titik puncak (4, 4) dan fokus (4, 1). Kemudian gambarkan grafiknya dengan menggunakan persamaan dan tali busur fokusnya.
Pembahasan :
Karena titik puncak dan fokusnya terletak pada garis vertikal, maka parabola yang dimaksud merupakan suatu parabola vertikal yang memiliki persamaan umum (x ± h)² = 4p(y ± k). Jarak p dari fokus ke titik pusat adalah 3 satuan, dan karena fokus berada di bawah titik puncak, maka grafiknya terbuka ke bawah dan p = –3. Dengan menggunakan tali busur fokus, jarak horizontal dari fokus ke grafik adalah |2p| = |2(–3)| = 6, memberikan titik-titik (–2, 1) dan (10, 1). Titik puncaknya digeser 4 satuan ke kanan dan 4 satuan ke atas dari (0, 0), sehingga diperoleh h = 4 dan k = 4. Sehingga persamaan dari parabola tersebut adalah (x – 4)² = –12(y – 4), dengan direktriks y = 7. Grafik dari parabola tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.

Perhatikan bahwa grafik parabola di atas memiliki sumbu simetri di garis x = 4.

3) HIPERBOLA
Permasalahan yang melibatkan fokus suatu hiperbola banyak kita jumpai di berbagai bidang. Seperti permasalahan fokus pada elips, hanya beberapa informasi hiperbola yang nantinya akan diketahui. Untuk itu, kita harus memanipulasi persamaan hiperbola yang diberikan atau bahkan membangun persamaan hiperbola dari suatu informasi tertentu untuk menentukan selesaian yang diberikan.

Contoh 1 : Menerapkan Karakteristik Hiperbola—Lintasan dari Suatu Komet
Komet-komet yang memiliki kecepatan yang sangat tinggi tidak dapat dipengaruhi oleh gravitasi matahari, dan akan mengitari matahari dengan lintasan berbentuk hiperbola dengan matahari sebagai salah satu titik fokusnya. Jika lintasan komet yang diilustrasikan oleh gambar di bawah dapat dimodelkan oleh persamaan 2.116x² – 400y² = 846.400, seberapa dekatkah komet tersebut dengan matahari? Anggap satuannya dalam jutaan mil.

Pembahasan :
Pada dasarnya, dalam permasalahan ini kita diminta untuk menentukan jarak antara fokus dengan titik puncak hiperbola. Dengan menuliskan persamaan yang diberikan ke dalam bentuk standar,

Sehingga, kita peroleh p = 20 (p² = 400) dan q = 46 (q² = 2.116). Dengan menggunakan persamaan fokus untuk menentukan f dan f², kita mendapatkan,

Karena p = 20 dan |f| = 50, jarak komet tersebut dengan matahari adalah 50 – 20 = 30 juta mil atau sekitar 4,83 × 10⁷ kilometer.

Contoh 2 : Lokasi dari Suatu Badai
Dua orang ahli meteorologi melihat badai dari tempat mereka tinggal. Tempat tinggal dua orang ahli meteorologi tersebut berjarak 4 km (4.000 m). Ahli meteorologi pertama, yang jaraknya lebih jauh dari badai, mendengar suara petir 9 detik setelah ahli meteorologi kedua. Jika kecepatan suara 340 m/s, tentukan persamaan yang dapat memodelkan lokasi dari badai tersebut.


Pembahasan :
Misalkan M₁ merupakan ahli meteorologi pertama dan M₂ merupakan ahli meteorologi kedua. Karena M1 mendengar petir 9 detik setelah M₂, maka lokasi M₁, 9 ∙ 340 = 3.060 m lebih jauh dari M₁ terhadap lokasi badai. Atau apabila disimbolkan, |M₁S| – |M₂S| = 3.060. Himpunan semua titik S yang sesuai dengan persamaan ini akan membentuk suatu grafik hiperbola, dan kita akan menggunakan fakta ini untuk membangun suatu persamaan yang memodelkan semua kemungkinan dari lokasi badai tersebut. Selanjutnya, mari kita gambar informasi-informasi di atas pada koordinat Cartesius sehingga M₁ dan M₂ terletak pada sumbu-x dan titik asal (0, 0) kita buat sebagai pusatnya.

Dengan selisih konstannya 3.060, kita mendapatkan 2p = 3.060 sehingga p = 1.530. Karena jarak antara M₁ dan M₂ adalah 4.000, maka jarak antara pusat dengan M₁ atau M₂ adalah f = 1/2 ∙ 4.000 = 2.000. Dengan menggunakan persamaan fokus, kita mendapatkan

Sehingga, persamaan lokasi dari badai tersebut adalah




Terimakasih, semoga bermanfaat :)


Wassalamualaikum Wr. Wb


Sumber :
https://yos3prens.wordpress.com/2014/01/17/5-soal-dan-pembahasan-penerapan-elips/  
https://yos3prens.wordpress.com/2014/05/19/persamaan-parabola/
https://yos3prens.wordpress.com/2014/01/29/5-soal-dan-pembahasan-permasalahan-fokus-suatu-hiperbola/



 

SEJARAH GEOMETRI ANALITIK

A. Pengertian Geometri Analitik 

Geometri (Greek; geo= bumi, metria= ukuran) adalah sebagian dari matematika yang mengambil persoalan mengenai ukuran, bentuk, dan kedudukan serta sifat ruang. Geometri adalah salah satu dari ilmu yang tertua. Awal mulanya sebuah badan pengetahuan praktikal yang mengambil berat dengan jarak, luas dan volume, tetapi pada abad ke-3 geometri mengalami kemajuan yaitu tentang bentuk aksiometik oleh Euclid, yang hasilnya berpengaruh untuk beberapa abad berikutnya.

Geometri merupakan salah satu cabang dalam ilmu matematika. Ilmu Geometri secara harfiah berarti pengukuran tentang bumi, yakni ilmu yang mempelajari hubungan di dalam ruang. Sejatinya, ilmu geometri sudah dipelajari peradaban  Mesir Kuno, masyarakat Lembah Sungai Indus dan Babilonia.
Peradaban-peradaban kuno ini diketahui memiliki keahlian dalam drainase rawa, irigasi, pengendalian banjir dan pendirian bangunan-bagunan besar. Kebanyakan geometri Mesir kuno dan Babilonia terbatas hanya pada perhitungan panjang segmen-segmen garis, luas, dan volume.

Geometri Analitik, juga disebut geometri koordinat dan dahulu disebut geometri Kartesius, adalah pembahasan geometri menggunakan prinsip-prinsip aljabar menggunakan biangan riil. Biasanya, sistem koordinat kartesius diterapkan untuk menyelesaikan persamaan bidang, garis, garis lurus, dan persegi, yang sering dalam pengukuran 2 atau 3 dimensi. Seperti yang diajarkan di buku pelajaran sekolah, geometri analitis dapat dijelaskan dengan sederhana: terfokus pada pendefinisian bentuk bangun dalam bilangan dan menjadikan sebagai sebuah hasil perhitungan. Hasil perhitungan dapat diasumsikan sebagai sebuah vektor atau bangun. Bagaimanapun juga beberapa output numerik juga membentuk vektor. Ada anggapan bahwa lahirnya geometri analitis adalah permulaan matematika modern.

Geometri Analitik merupakan kombinasi antara aljabar dan geometri. Dengan membuat korespondensi antara persamaan matematika secara aljabar dengan tempat kedudukan secara geometrik diperoleh suatu metoda pemecahan masalah geometri yang lebih sistematik dan lebih tegas. Masalah-masalah geometri akan diselesaikan secara aljabar (atau secara analitik). Sebaliknya gambar geometri sering memberikan pemahaman yang lebih jelas pada pengertian hasil secara aljabar. Dalam hal ini juga memungkinkan menyelesaikan masalah aljabar secara geometri, tetapi model bentuk geometri jauh lebih penting daripada sekedar penyelesaian, khususnya jika bilangan dikaitkan dengan konsep pokok geometri. 

Sebagai contoh, panjang suatu segmen garis atau sudut antara dua garis. Jika garis dan titik secara geometrik diketahui, maka bilangan yang menyatakan panjang atau besar sudut antara dua garis pada hakekatnya hanyalah nilai pendekatan dari suatu pengukuran. Tetapi metoda aljabar memandang bilangan itu sebagai perhitungan yang eksak (bukan pendekatan). 

Geometri Analitis (Analytic Geometry) adalah penyederhanaan dari permasalahan dalam pelajaran geometri yang diselesaikan dengan bantuan al jabar. Di sini banyak di bicarakan masalah-masalah geometri secara sederhana, sehingga mempermudah kita untuk mempelajarinya. Dengan memakai geometri analitik pula kita membahas berbagai kemungkinan dari penafsiran geometri, dengan mempergunakan persamaan-persamaan al jabar. 

Rene Descartes seorang ahli matematika yang hidup di tahun 1596 sampai dengan tahun 1650, adalah orang yang pertama kali membuat pendahuluan teori al jabar dalam pelajaran geometri. Beliau memperkenalkan metoda barunya secara terus menerus, sehingga lahirlah buku yang berjudul “La Geometrie” yang ditulis pada tahun 1637. Geometri analitik ini kadang-kadang disebut juga geometri cartesian, hal ini untuk mengingatkan kita dan sekaligus sebagai penghormatan kepada beliau sebagai orang pertama yang memperkenalkan konsep geometri analitik.

Geometri analitik pada dasarnya terbagi menjadi dua bagian besar, yaitu Geometri Analitik Bidang dan Geometri Analitik Ruang. Kedua bagian ini satu sama lainnya saling berhubungan erat tidak bisa dipisah-pisahkan.

B. Sejarah Singkat Geometri

Paling tidak ada enam wilayah yang dapat dipandang sebagai ’sumber’ penyumbang pengetahuan geometri, yaitu: Babilonia (4000 SM - 500 SM), Yunani (600 SM – 400 SM), Mesir (5000 SM - 500 SM), Jasirah Arab (600 - 1500 AD), India (1500 BC - 200 BC), dan Cina (100 SM - 1400). Tentu masih ada negara-negara penyumbang pengetahuan geometri yang lain, Namun, kurang signifikan atau belum terekam dalam tradisi tulisan.

Bangsa Babilonia menempati daerah subur yang membentang antara sungai Eufrat dan sungai Tigris di wilayah Timur Tengah. Pada mulanya, daerah ini ditempati oleh bangsa Sumeria. Pada saat itu, 3500 SM, atau sekitar 5000 tahun yang lalu telah hidup sangat maju. Banyak gedung dibangun  seperti kota waktu kini. Sistem irigasi dan sawah pertanian juga telah berkembang. Geometri dipikirkan oleh para insinyur untuk keperluan pembangunan.

Geometri yang lahir dan berkembang di Babilonia merupakan sebuah hasil dari keinginan dan harapan para pemimpin pemerintahan dan agama pada masa itu. Hal ini dimaksudkan untuk bisa mendirikan berbagai bangunan yang kokoh dan besar.  Juga harapan bagi para raja agar dapat menguasai tanah untuk kepentingan pendapatan pajak. Teknik-teknik geometri yang berkembang saat itu pada umumnya masih kasar dan bersifat intuitif. Akan tetapi, cukup akurat dan dapat memenuhi kebutuhan perhitungan berbagai fakta tentang teknik-teknik geometri saat itu termuat dalam Ahmes Papirus yang ditulis lebih kiurang tahun 1650 SM dan ditemukan pada abad ke-9. Peninggalan berupa tulisan ini merupakan bagian dari barang-barang yang tersimpan oleh museum-museum di London dan New York. Dalam Papirus ini terdapat formula tentang perhitungan luas daerah suatu persegi panjang, segitiga siku-siku, trapesium yang mempunyai kaki tegak lurus dengan alasnya, serta formula tentang pendekatan perhitungan luas daerah lingkaran. Orang-orang Mesir rupanya telah mengembangkan rumus-sumus ini dalam kehidupan mereka untuk menghitung luas tanah garapannya.

Selain melanjutkan mengembangkan geometri, mereka juga mengembangkan sistem bilangan yang kini kita kenal dengan ’sexagesimal’ berbasis 60. Kita masih menikmati (dan menggunakan) sistem ini  ketika berbicara tentang waktu.

Mereka membagi hari ke dalam 24 jam. Satu jam dibagi menjadi 60 menit. Satu menit dibagi menjadi 60 detik. Kita mengatakan, misalnya, saat ini adalah pukul 9, 25 menit, 30 detik. Kalau dituliskan akan berbentuk pukul 9 25' 30", dan dalam sexagesimal dapat dituliskan sebagai 9 5 ²⁵/₆₀ ³⁰/_3600.  Sistem ini telah menggunakan nilai tempat seperti yang kita gunakan dewasa ini  (dalam basis 10 bukan dalam basis 60).

Bangsa Babilonia mengembangkan cara mengitung luas dan volume. Di antaranya menghitung panjang keliling lingkaran yang sama dengan tiga kali panjang garis tengahnya. Kita mengenal harga tiga ini mendekati harga π . Rumus Pythagoras juga sudah dikenal pada masa itu.

Bangsa Mesir mendiami wilayah yang sangat subur di sepanjang sungai Nil. Pertanian berkembang pesat. Pemerintah memerlukan cara untuk membagi petak-petak sawah dengan adil. Maka, geometri maju di sini karena menyajikan berbagai bentuk polygon yang di sesuaikan dengan keadaan walayah di sepanjang sungai Nil itu.

Di Yunani, geometri mengalami masa ’emas’nya. Sekitar 2000 tahun yang lalu, ditemukan teori yang kita kenal dewasa ini dengan nama teori aksiomatis. Teori berpikir yang mendasarkan diri pada sesuatu yang paling dasar yang kebenarannya kita terima begitu saja. Kebenaran semacam ini kita sebut kebenaran aksioma. Dari sebuah aksioma diturunkan berbagai dalil baik dalil dasar maupun dalil turunan. Dari era ini, kita juga memperoleh warisan buku geometri yang hingga kini belum terbantahkan, yaitu geometri Euclides. Geometri yang kita ajarkan secara formal di sekolah merupakan ’kopi-an’ dari geometri Euclides ini.

Di awal perkembangan Islam, para pemimpin Islam menganjurkan agar menimba ilmu sebanyak mungkin. Kita kenal belajaralah hingga ke negeri Cina. Dalam era itu, Islam menyebar di Timur Tengah, Afrika Utara, Spanyol, Portugal, dan Persia. Para matematikawan Islam menyumbang pada pengembangan aljabar, asronomi, dan trigonometri. Trigonometri merupakan salah satu pendekatan untuk menyelesaian masalah geometri secara aljabar. Kita mengenalnya menjadi geometri analitik. Mereka juga mengembangkan polinomial.

Di wilayah timur, India dan Cina dikenal penyumbang  pengetahuan matematika yang handal. Di India, para matematikawan memiliki tugas untuk membuat berbagai bangunan pembakaran untuk korban di altar. Salah satu syaratnya adalah  bentuk boleh ( bahkan harus) berbeda tetapi luasnya harus sama. Misalnya, membuat pangunan pembekaran yang terdiri atas lima tingkat dan setiap tingkat terdiri 200 bata. Di antara dua tingkat yang urutan tidak boleh ada susunan bata yang sama persis.   Saat itulah muncul ahli geometri di India.  Tentu, bangunan itu  juga dilengkapi dengan atap. Atap juga merupakan bagian tugas matematikawan India. Di sinilah berkembang teori-teori geometri.

Seperti cabang-cabang ilmu pengetahuan yang lain, matematika (termasuk geometri) juga dikembangkan oleh para ilmuwan Cina sejak 2000 tahun sebelum Masehi (atau sekitar 4000 tahun yang lalu). Kalau di Eropa terdapat buku ‘Unsur-unsur’, geometri Euclides yang mampu menembus waktu 2000 tahun tanpa tertandingi, di timur, Cina terdapat buku ‘Sembilan bab tentang matematika’ yang dibuat sekitar tahun 179 oleh Liu Hui. Buku ini memuat banyak masalah geometri. Di antaranya menghitung luas dan volume. Dalam buku itu juga mengupas hukum Pythagoras. Juga banyak dibicarakan tentang polygon.

Pada Zaman Pertengan, Ahli matematik Muslim banyak menyumbangkan mengenai perkembangan geometri, terutama geometri aljabar dan  aljabar geometri. Al- Mahani (1.853) mendapat idea menguraikan masalah geometri seperti menyalin kubus kepada masalah dalam bentuk aljabar. Thabit ibn Qurra (dikenal sebagi Thebit dalam Latin) (836 – 901) mengendali dengan pengendalian arimetikal yang diberikan kepada ratio kuantitas geometri, dan menyumbangkan tentang  pengembangan geomeri analitik. Omar Khayyam (1048 -1131) menemukan penyelasaian geometri kepada persamaan kubik, dan penyelidikan selanjutnya yang terbesar adalah kepada pengembangan geometri bukan Euclid.

Pada awal abad ke-17, terdapat dua perkembangan penting dalam geometri. Yang pertama, dan yang terpenting, adalah penciptaan geometri analik, atau geometri dengan koordinat dan persamaan, oleh Rene Descartes (1596-1650) dan Pierre de Fermat (1601-1665). Ini adalah awal yang di perlukan untuk perkembangan kalkulus. Perkembangan geometrik kedua adalah penyelidikan secara sistematik dari geometri proyektif oleh Girard Desargues (1591-1661). Geometri proyektif adalah penyelidikan geometri tanpa ukuran, Cuma dengan menyelidik bagaimana hubungan antara satu sama lain.

Dua perkembangan dalam geometri pada abad ke-19,mengubah cara ia telah dipelajari sebelumnya. Ini merupakan penemuan Geometri bukan Euclid oleh Lobachevsky, Bolyai dan Gauss dan dari formulasi simetri sebagai pertimbangan utama dalam Program Erlangen dari Felix Klein (yang menyimpulkan geometri Euclid dan bukan Euclid). Dua dari ahli geometri pada masa itu ialah Bernhard Riemann, bekerja secara analisis matematika, dan Henri Poincaré, sebagai pengagas topologi algebraik dan teori geometrik dari sistem dinamikal.

Sebagai akibat dari perubahan besar ini dalam konsepsi geometri, konsep "ruang" menjadi sesuatu yang kaya dan berbeda, dan latar belakang semula hanya teori yang berlainan seperti analisis kompleks dan mekanik klasikal. Jenis tradisional geometri telah dikenal pasti seperti dari ruang homogeneous, yaitu ruang itu mempunyai bekalan simetri yang mencukupi, supaya dari poin ke poin mereka kelihatan sama.

C. Tokoh-Tokoh Geometri
1.     Thales (640 – 546 SM)

Pada mulanya geometri lahir semata-mata didasarkan oleh pengalaman. Namun matematikawan yang pertama kali merasa tidak puas terhadap metode yang didasari semata-mata pada pengalaman adalah Thales (640-546 SM). Masyarakat matematika sekarang menghargai Thales sebagai orang yang selalu berkarta “Buktikan itu” dan bahkan ia selalu melakukan itu. Dari sekian banyak teorema adalah: 
-   Sudut-sudut alas dari suatu segitiga samakaki adalah kongruen,
-   Sudut-sudut siku-siku adalah kongruen,
-   Sebuah sudut yang dinyatakan dalam sebuah setengah lingkaran adalah sudut siku-siku.

Hasil kerja dan prinsip Theles jelas telah manandai awal dari sebuah era kemajuan matematika yang mengembangkan pembuktian deduktif sebagai alasa logis yang dapat diterima. Pembuktian deduktif diperlukan untuk menurunkan teorema dari postulat-postulat. Selanjutnya untuk disusun suatu pernyataan baru yang logis.

2.     Pythagoras (582-507 SM)

Sepeninggal Thales muncullah Pythagoras (582-507 SM) berikut para pengikutnya yang dikenal dengan sebutan Pythagorean melanjutkan langkah Thales. Para Pythagorean menggunakan metode pembuktian tidak hanya untuk mengembangkan Teorema Pythagoras, tetapi juga terhadap teorema-teorema jumlah sudut dalam suatu poligon, sifat-sifat dari garis-garis yang sejajar, teorama tentang jumlah-jumlah yang tidak dapat diperbandingkan, serta teorema tentang lima bangun padat beraturan.

3.     Euclid (300 SM)

Tidak banyak orang yang beruntung memperoleh kemasyhuran yang abadi seperti Euclid, ahli ilmu ukur Yunani yang besar. Meskipun semasa hidupnya tokoh-tokoh seperti Napoleon, Martin Luther, Alexander yang Agung, jauh lebih terkenal ketimbang Euclid tetapi dalam jangka panjang ketenarannya mungkin mengungguli semua mereka yang disebut itu.

Selain kemasyhurannya, hampir tak ada keterangan yang terperinci mengenai kehidupan Euclid yang bisa diketahui. Misalnya, kita tahu dia pernah aktif sebagai guru di Iskandariah, Mesir, di sekitar tahun 300 SM, tetapi kapan dia lahir dan kapan dia wafat betul-betul gelap. Bahkan, kita tidak tahu di benua apa dan di kota apa dia dilahirkan. Meski dia menulis beberapa buku dan diantaranya masih ada yang tertinggal, kedudukannya dalam sejarah terutama terletak pada bukunya yang hebat mengenai ilmu ukur yang bernama The Elements.

Dalam The Elements, Euclid menggabungkan pekerjaan disekolah yang telah ia ketahui dengan semua pengetahuan matematika yang ia ketahui dalam suatu perbandingan yang sistematis hingga menjadi sebuah hasil yang menakjubkan. Kebanyakan dari pekerjaannya itu bersifat original, sebagai metode deduktif ia mendemonstrasikan sebagian besar pengetahuan yang diperlukan melalui penalaran. Dalam Element Euclid pun menjelaskan aljabar dan teori bilangan sebaik ia menjelaskan geometri.

Arti penting buku The Elements tidaklah terletak pada pernyataan rumus-rumus pribadi yang dilontarkannya. Hampir semua teori yang terdapat dalam buku itu sudah pernah ditulis orang sebelumnya, dan juga sudah dapat dibuktikan kebenarannya. Sumbangan Euclid terletak pada cara pengaturan dari bahan-bahan dan permasalahan serta formulasinya secara menyeluruh dalam perencanaan penyusunan buku. Di sini tersangkut, yang paling utama, pemilihan dalil-dalil serta perhitungan-perhitungannya, misalnya tentang kemungkinan menarik garis lurus diantara dua titik.

Sesudah itu dengan cermat dan hati-hati dia mengatur dalil sehingga mudah difahami oleh orang-orang sesudahnya. Bilamana perlu, dia menyediakan petunjuk cara pemecahan hal-hal yang belum terpecahkan dan mengembangkan percobaan-percobaan terhadap permasalahan yang terlewatkan. Perlu dicatat bahwa buku The Elements selain terutama merupakan pengembangan dari bidang geometri yang ketat, juga di samping itu mengandung bagian-bagian soal aljabar yang luas berikut teori penjumlahan.

Buku The Elements sudah merupakan buku pegangan baku lebih dari 2000 tahun dan merupakan buku yang paling sukses yang pernah disusun manusia. Begitu hebatnya Euclid menyusun bukunya sehingga dari bentuknya saja sudah mampu menyingkirkan buku yang pernah dibuat orang sebelumnya.

Sebagai alat pelatih logika pikiran manusia, buku The Elements jauh lebih berpengaruh ketimbang semua risalah Aristoteles tentang logika. Buku itu merupakan contoh yang komplit sekitar struktur deduktif dan sekaligus merupakan buah pikir yang menakjubkan dari semua hasil kreasi otak manusia.

Adil jika kita mengatakan bahwa buku Euclid merupakan faktor penting bagi pertumbuhan ilmu pengetahuan modern. Ilmu pengetahuan bukanlah sekedar kumpulan dari pengamatan-pengamatan yang cermat dan bukan pula sekedar generalisasi yang tajam serta bijak. Hasil besar yang direnggut ilmu pengetahuan modern berasal dari kombinasi antara kerja penyelidikan empiris dan percobaan-percobaan di satu pihak, dengan analisa hati-hati dan kesimpulan yang punya dasar kuat di lain pihak.

Pengaruh Euclid terhadap Sir Isaac Newton sangat terasa sekali, sejak Newton menulis buku yang terkenal dengan nama The Principia dalam bentuk kegeometrian, mirip dengan The Elements. Berbagai ilmuwan mencoba menyamakan diri dengan Euclid dengan jalan memperlihatkan bagaimana semua kesimpulan mereka secara logis berasal mula dari asumsi asli. Tak kecuali apa yang diperbuat oleh ahli matematika seperti Russel, Whitehead dan filosof Spinoza.

Kini, para ahli matematika sudah memaklumi bahwa geometri Euclid . bukan satu-satunya sistem geometri yang memang jadi pegangan pokok dan teguh serta yang dapat direncanakan pula, mereka pun maklum bahwa selama 150 tahun terakhir banyak orang yang merumuskan geometri bukan a la Euclid. Sebenarnya, sejak teori relativitas Einstein diterima orang, para ilmuwan menyadari bahwa geometri Euclid tidaklah selamanya benar dalam penerapan masalah cakrawala yang sesungguhnya.

Pada kedekatan sekitar "Lubang hitam" dan bintang neutron --misalnya-- dimana gayaberat berada dalam derajat tinggi, geometri Euclid tidak memberi gambaran yang teliti tentang dunia, ataupun tidak menunjukkan penjabaran yang tepat mengenai ruang angkasa secara keseluruhan. Tetapi, contoh-contoh ini langka, karena dalam banyak hal pekerjaan Euclid menyediakan kemungkinan perkiraan yang mendekati kenyataan. Kemajuan ilmu pengetahuan manusia belakangan ini tidak mengurangi baik hasil upaya intelektual Euclid maupun dari arti penting kedudukannya dalam sejarah.

4.     Saintis-Saintis Muslim

Di era kekhalifahan Islam, para saintis Muslim pun turut mengembangkan geometri. Bahkan, pada era abad pertengahan, geometri dikuasai para matematikus Muslim. Tak heran jika peradaban Islam turut memberi kontribusi penting bagi pengembangan cabang ilmu matematika modern itu.

Pencapaian peradaban Islam di era keemasan dalam bidang geometri sungguh sangat menakjubkan. Betapa tidak.  Para peneliti di Amerika Serikat (AS) menemukan fakta bahwa di abad ke-15 M, para cendekiawan Muslim telah menggunakan pola geometris mirip kristal. Padahal, pakar matematika modern saja baru menemukan pla desain geometri itu pada abad ke-20 M.

Menurut studi yang diterbitkan dalam Jurnal Science itu, para matematikus Muslim di era keemasan telah memperlihatkan satu terobosan penting dalam bidang matematika dan desain seni pada abad ke-12 M. "Ini amat mengagumkan," tutur Peter Lu, peneliti dari Harvard, AS seperti dikutip  BBC .

Peter Lu mengungkapkan, para matemetikus dan desainer Muslim di era kekhalifahan telah mamapu membuat desain dinding, lantai dan langit-langit dengan menggunakan tegel yang mencerminkan pemakaian rumus matematika yang begitu canggih. ''Teori itu baru ditemukan 20 atau 30 tahun lalu," ungkapnya.

Desain dalam seni Islam menggunakan aturan geometri dengan bentuk mirip kristal yang menggunakan bentuk poligon simetris untuk menciptakan satu pola. Hingga saat ini, pandangan umum yang beredar adalah pola rumit berbentuk bintang dan poligon dalam desain seni Islam dicapai dengan menggunakan garis zigzag yang digambar dengan mistar dan kompas.

"Anda bisa melihat perkembangan desain geometis yang canggih ini. Jadi mereka mulai dengan pola desain yang sederhana, dan lama-lama menjadi lebih kompleks," tambah Peter Lu. Penemuan Peter Lu itu membuktikan bahwa peradaban Islam telah mampu mencapai kemajuan yang luar biasa dalam bidang geometri.

Lantas bagaimana  matematikus Islam mengembangkan geometri? Pada abad ke-9 M, matematikus Muslim bernama Khawarizmi telah mengembangkan geometri. Awalnya,  ilmu geometri dipelajari sang matematikus terkemuka dari  buku berjudul  The Elements   karya Euclid. Ia pun kemudian mengembangkan geometri dan menemukan beragam hal yang baru dalam studi tentang hubungan di dalam ruang. Al-Khawarizmi menciptakan istilah  secans dan  tangens dalam penyelidikan trigonometri dan astronomi. Dia juga menemukan Sistem Nomor yang sangat penting bagi sistem nomor  modern. Dalam Sistem Nomor itu, al-Khawarizmi memuat istilah Cosinus, Sinus dan Tangen untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, teorema segitiga sama kaki, perhitungan luas segitiga, segi empat maupun perhitungan luas lingkaran dalam geometri.

Penelitian al-Khawarizmi dianggap sebagai  sebuah revolusi besar dalam dunia matematika. Dia menghubungkan konsep-konsep geometri dari matematika Yunani kuno ke dalam konsep baru. Penelitian-penelitian al-Khawarizmi menghasilkan sebuah teori gabungan yang memungkinkan bilangan rasional/irasional, besaran-besaran geometri diperlakukan sebagai objek-objek aljabar.

Penelitian al-Khawarizmi memungkinkan dilakukannya aplikasi sistematis dari aljabar. Sebagai contoh, aplikasi aritmetika ke aljabar dan sebaliknya, aljabar terhadap trigonometri dan sebaliknya, aljabar terhadap teori bilangan, aljabar terhadap geometri dan sebaliknya. Penelitian-penelitian ini mendasari terciptanya aljabar polinom, analisis kombinatorik, analisis numerik, solusi numerik dari persamaan, teori bilangan, dan konstruksi geometri dari persamaan. Konsep geometri dalam matematika yang diperkenalkan oleh al-Khawarizmi juga sangat penting dalam bidang astronomi. Pasalnya Astronomi merupakan ilmu yang mengkaji tentang bintang-bintang termasuk kedudukan, pergerakan, dan penafsiran yang berkaitan dengan bintang. Guna menghitung kedudukan bintang terhadap bumi membutuhkan perhitungan geometri.

Ilmuwan Muslim lainnya yang berjasa mengembangkan geometri adalah Thabit Ibnu Qurra. Matematikus Muslim yang dikenal dengan panggilan  Thebit itu juga merupakan salah seorang ilmuwan Muslim terkemuka di bidang Geometri.  Dia melakukan penemuan penting di bidang matematika seperti kalkulus integral, trigonometri, geometri analitik, maupun geometri non-Eucledian.

Salah satu karya Thabit yang fenomenal di bidang geometri adalah bukunya yang berjudul  The composition of Ratios ( Komposisi rasio). Dalam buku tersebut, Thabit mengaplikasikan antara aritmatika dengan rasio kuantitas geometri. Pemikiran ini, jauh melampaui penemuan ilmuwan Yunani kuno dalam bidang geometri.

Sumbangan Thabit terhadap geometri lainnya yakni, pengembangan geometri terhadap teori Pitagoras di mana dia mengembangkannya dari segi tiga siku-siku khusus ke seluruh segi tiga siku-siku. Thabit juga mempelajari geometri untuk mendukung penemuannya terhadap kurva yang dibutuhkan untuk membentuk bayangan matahari.

Selain itu,  ilmuwan Muslim lainnya yang berjasa mengembangkan geometri adalah Ibnu al-Haitham. Dalam bidang geometri, Ibnu al-Haitham mengembangkan analitis geometri yang menghubungkan geometri dengan aljabar. Selain itu, dia juga memperkenalkan konsep gerakan dan transformasi dalam geometri. Teori Ibnu al-Haitham dalam bidang persegi merupakan teori yang pertama kali dalam geometri eliptik dan geometri hiperbolis. Teori ini dianggap sebagai tanda munculnya geometri non- Euclidean. Karya-karya Ibn al-Haitham itu mempengaruhi karya para ahli geometri Persia seperti Nasir al-Din al Tusi dan Omar Khayyam. Namun pengaruh Ibn al-Haytham tidak hanya terhenti di wilayah Asia saja. Sejumlah ahli geometri Eropa seperti Gersonides, Witelo, Giovanni Girolamo Saccheri, serta John Wallis pun terpengaruh pemikiran al-Haitham. Salah satu karyanya yang terkemuka dalam ilmu geometri adalah  Kitab al-Tahlil wa al'Tarkib. 

Cendekiawan Muslim lainnya yang berjasa mengembangkan geometri adalah Abu Nasr Mansur ibnu Ali ibnu Iraq atau  biasa disebut Abu Nasr Mansur. Ia merupakana salah satu ahli geometri yang mendalami spherical geometri (geometri yang berhubungan dengan astronomi). Spherical geometri ini sangat penting untuk menyelesaikan masalah-masalah yang sulit di dalam astonomi Islam. Umat Islam perlu menentukan waktu yang tepat untuk shalat,  Ramadhan, serta hari raya baik Idul Fitri maupun Idul Adha. Dengan bantuan spherical geometri, kini umat Muslimbisa memperkirakan waktu-waktu tersebut dengan mudah. Itulah salah satu warisan ilmu Abu Nasr Mansur bagi kita saat ini. 

Sumber : https://rahmarozazarkasih17.blogspot.co.id/2017/04/11-sejarah-geometri-analitik.html

               http://aby-matematika.blogspot.co.id/2011/08/sejarah-geometri.html

Menentukan Koordinat Tabung Dan Koordinat Bola

Assalamualaikum Wr. Wb

Haiii.. kita berjumpa lagi ni apa kabar kalian semua ?? Semoga dalam keadaan sehat wal-afiat yaa, Aamiin.. dan tentunya selalu dalam lindungan Allah SWT.

Gaess, kali ini kita akan membahas tentang Cara Menentukan Koordinat Tabung Dan Koordinat Bola. Pada bingung kan yaa itu bagaimanasih (?) Eits, tenang dulu disini kita akan belajar dan membahasnya bersama-sama :* Cusss..langsung contoh soal saja yuk yukssssss....

Oke kita sikattt gaesss, Langkah pertama yang dapat kita lakukan adalah kita kerjakan terlebih dahulu dalam bentuk koordinat yaa. Yuks simak caranya dibawah ini ;)

Setelah titik koordinat ditemukan, kemudian kita masukkan titik yang sudah diperoleh ke koordinat menggunakan Geogebra seperti pada postingan sebelumnya ;)

Jrenggggggg, Dan ini dia gambar yang diperoleh..... *huffft akhirnya :')

Cusss.. soal yang ke 2 ;) Lanjut lagi gaesss semangat yohh jangan kasi kendor!!

Bismillah, mari kita jawab..

Gaesss langkah untuk mengerjakan soal no 2 diatas caranya persis pake banget dengan langkah-langkah yang kita lakukan pada pengerjaan soal no 1 tadi ;)))) 

Langkah pertama yaitu kita kerjakan terlebih dahulu dalam bentuk koordinat yaa. Monggo disimak caranya dibawah ini

 

Persis gaess seperti contoh sebelumnya, selanjutnya kita masukkan titik yang sudah diperoleh ke koordinat menggunakan Geogebra *Siapp!

And finally gaess, ini dia hasilnyaaaaaaaa....

 

Sampai disini dulu yaa gaess pembahasan kita kali ini, semoga ilmu yang kita dapat bermanfaat untuk kita semua :) Aamiin..

See you :****

Wassalamualaikum Wr. Wb