GEOMETRI ANALITIK : ELIPS

A. Definisi Elips

     Elips ialah tempat kedudukan titik-titik sehingga perbandingan jarak ke titik tertentu (fokus F) dan terhadap garis tertentu (direktriks d) tetap, yaitu sama dengan e dan e < 1 (= eksentrisitas)

Perhatikan Gambar 1 :

Ket :

F = fokus

d = direktriks

PP' = jarak P ke direktriks d

P pada elips, maka PF/PP' = e dengan e < 1

B. Melukis Elips

CATATAN :

Jika direktris d₁ di sebelah kiri  V₂ dan berjarak dua satuan, maka fokus  F₁ pada FT dengan : V₂F₁/V₂T₁ = ½ maka akan menghasilkan elips. Jadi setiap elips memiliki dua fokus dan dua direktris.

Langkah-langkah melukis elips (Perhatikan Gambar 2) : 
1.  Buat garis TT, yang tegak lurus dengan d₁ dan d_2. 
2.  Tentukan titik V₁ dan V₂ pada garis TT₁, sedemikian sehingga : V₁F/V₁T = ½ dan V₂F₁/V₂T₁ = ½. Jadi titik V₁ dan V₂ pada elips.
3. Buatlah garis-garis g_1,g_2,g_3,g_4, dan g₅ masing-masing sejajar d dan memotong garis FT berturut-turut pada A=F, B, C, D, dan E=F_1. 
4. Buatlah lingkaran (F, ½ AT) sehingga memotong g₁ di A₁ dan A_2. Jadi A₁F/A₁T = A₂F/A₂T = ½. Maka titik A₁ dan A₂ terletak pada elips. 
5. Buatlah lingkaran (F, ½ BT) sehingga memotong g1 di B₁ dan B_2. Jadi B₁F/B₁T = B₂F/B₂T = ½ Maka titik B₁ dan B₂ terletak pada elips.
6.  Lakukan langkah 4 dan 5 sehingga diperoleh titik-titik C₁, C₂, D₁, D_2, E₁ dan E₂ yang semuanya terletak pada elips.
7.  Hubungkan titik-titik yang diperoleh dari langkah 2, langkah 4, langkah 5 dan langkah 6 sehingga akan diperoleh lengkungan tertutup yang disebut dengan elips (dengan e = ½).

Istilah-istilah pada elips :

 
Perhatikan Gambar 3 

1.  F₁  dan F₂ disebut fokus.

2.  d₁ dan d₂ adalah direktriks. Jika P pada elips, maka PF₁/jarak (p, d₁) = PF₂/jarak (p, d₂) = e ( e = eksentrisitas, dengan < 1)

3.  V_1, V_2, T_1, dan T₂ adalah puncak elips.

4.  O adalah pusat elips, OV₁ = OV₂  = a, OF₁ = OF₂ = c, OT₁ = OT₂ = b

5.  V₁V₂ dan T₁T₂ disebut sumbu simetri. Sumbu Simetri yang memuat fokus disebut sumbu panjang (V₁V₂), dengan V₁V₂ = 2. Sumbu simetri yang tidak memuat fokus disebut sumbu pendek (T₁T₂), dengan T₁T₂ = 2.

6.  Tali busur yang melalui fokus disebut tali busur fokus.

7.  Tali busur fokus yang tegak lurus sumbu panjang disebut lotus rectum. Dalam hal ini AB dan CD adalah lotus rectum.

8.  Segmen penghubung fokus dengan titik pada elips disebut jari-jari fokus.

C. Persamaan Umum Elips

-  Persamaan umum elips dengan pusat P(α,β) dan sumbu-sumbunya sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat dengan a > b, adalah :

   

    Dengan cara yang sama, maka persamaan umum elips dengan pusat P(α,β) dan sumbu sumbunya sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat dengan a < b, adalah :

   

-  Jika pusat elips P(0,0) dan a > b, maka persamaan umum elips adalah :

  

   Jika pusat elips P(0,0) dan a < b, maka persamaan umum elips adalah :

    

D. Persamaan Garis Singgung Elips 

-  Persamaan Garis Singgung Elips dengan Gradien m

-  Persamaan Garis Singgung Elips Melalui Suatu Titik

 

E. Contoh soal :
1). Tentukanlah titik pusat, jari-jari pendek dan panjang dari persamaan elips 4x² + 9y² +16x – 18y – 11 = 0
Penyelesaian :
4x²+9y²+16x-18y-11=0
4x²+16x+9y²-18y-11=0
4(x²+4x)+9(y²-2y)-11=0
4(x²+4x+4)+9(y²-2y+1)=11+16+9
4(x+2)2+9(y-1)2=36

Pusat elips (-2,1)
Jari-jari panjang a2 = 9, maka a = √9 = 3
Jari-jari pendek b2 = 4, maka b = √4 = 2

2). Suatu jembatan yang berbentuk elips dibangun di atas jalan raya. Panjang dan ketinggian busur elips jembatan tersebut secara berturut-turut adalah 10 meter dan 6 meter. Apakah truk barang yang lebar dan tingginya secara berturut-turut 5 meter 5,5 meter dapat melewati jembatan tersebut tanpa menyebabkan kerusakan?

 

      Pembahasan :

   Karena panjang busur elips tersebut 10 meter, maka kita peroleh 2p = 10 sehingga p = 10/2 = 5. Sedangkan tinggi dari busur elips tersebut adalah 6 meter, maka q= 6 meter. Dengan menganggap titik pusat elips sebagai titik asal, maka persamaan elips tersebut adalah

   Agar jembatan tersebut dapat dilewati oleh kendaraan secara maksimal, maka kendaraan tersebut harus berada tepat di tengah-tengah jembatan tersebut. Selanjutnya, kita dapat menentukan ketinggian maksimal kendaraan yang dapat masuk, yang bergantung dengan lebar dari kendaraan tersebut.

     Karena lebar truk tersebut 5 meter, maka kita harus menentukan y untuk x = 5/2 = 2,5, yaitu ketinggian maksimum untuk titik 2,5 meter di kiri dan kanan titik pusat elips

 

    Karena tinggi truk barang tersebut 5,5 meter dan ketinggian maksimum jembatan pada titik 2,5 meter di kanan dan kiri titik pusatnya adalah 5,20 meter, maka truk barang tersebut tidak akan bisa melewati jembatan yang dimaksud.