Kamis, 28 Juni 2018

GEOMETRI ANALITIK : ELIPS


A. Definisi Elips
     Elips ialah tempat kedudukan titik-titik sehingga perbandingan jarak ke titik tertentu (fokus F) dan terhadap garis tertentu (direktriks d) tetap, yaitu sama dengan e dan e < 1 (= eksentrisitas)

Perhatikan Gambar 1 :
Ket :
F = fokus
d = direktriks
PP' = jarak P ke direktriks d
P pada elips, maka PF/PP' = e dengan e < 1


B. Melukis Elips
CATATAN :
Jika direktris d1 di sebelah kiri  V2 dan berjarak dua satuan, maka fokus  F1 pada FT dengan : V2F1/V2T1 = ½ maka akan menghasilkan elips. Jadi setiap elips memiliki dua fokus dan dua direktris.
Langkah-langkah melukis elips (Perhatikan Gambar 2) : 
1.  Buat garis TT, yang tegak lurus dengan d1 dan d2. 
2.  Tentukan titik V1 dan V2 pada garis TT1, sedemikian sehingga : V1F/V1T = ½ dan V2F1/V2T1 = ½. Jadi titik V1 dan V2 pada elips.
3. Buatlah garis-garis g1,g2,g3,g4, dan g5 masing-masing sejajar d dan memotong garis FT berturut-turut pada A=F, B, C, D, dan E=F1. 
4. Buatlah lingkaran (F, ½ AT) sehingga memotong g1 di A1 dan A2. Jadi A1F/A1T = A2F/A2T = ½. Maka titik A1 dan A2 terletak pada elips. 
5. Buatlah lingkaran (F, ½ BT) sehingga memotong g1 di B1 dan B2. Jadi B1F/B1T = B2F/B2T = ½ Maka titik B1 dan B2 terletak pada elips.
6.  Lakukan langkah 4 dan 5 sehingga diperoleh titik-titik C1, C2, D1, D2, E1 dan E2 yang semuanya terletak pada elips.
7.  Hubungkan titik-titik yang diperoleh dari langkah 2, langkah 4, langkah 5 dan langkah 6 sehingga akan diperoleh lengkungan tertutup yang disebut dengan elips (dengan e = ½).

Istilah-istilah pada elips :

 
Perhatikan Gambar 3 

1.  F1  dan F2 disebut fokus.

2.  d1 dan d2 adalah direktriks. Jika P pada elips, maka PF1/jarak (p, d1) = PF2/jarak (p, d2) = e ( e = eksentrisitas, dengan < 1)

3.  V1, V2, T1, dan T2 adalah puncak elips.

4.  O adalah pusat elips, OV1 = OV2  = a, OF1 = OF2 = c, OT1 = OT2 = b
5.  V1V2 dan T1T2 disebut sumbu simetri. Sumbu Simetri yang memuat fokus disebut sumbu panjang (V1V2), dengan V1V2 = 2. Sumbu simetri yang tidak memuat fokus disebut sumbu pendek (T1T2), dengan T1T2 = 2.
6.  Tali busur yang melalui fokus disebut tali busur fokus.
7.  Tali busur fokus yang tegak lurus sumbu panjang disebut lotus rectum. Dalam hal ini AB dan CD adalah lotus rectum.
8.  Segmen penghubung fokus dengan titik pada elips disebut jari-jari fokus.

C. Persamaan Umum Elips

-  Persamaan umum elips dengan pusat P(α,β) dan sumbu-sumbunya sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat dengan a > b, adalah :
   
    Dengan cara yang sama, maka persamaan umum elips dengan pusat P(α,β) dan sumbu sumbunya sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat dengan a < b, adalah :
   
-  Jika pusat elips P(0,0) dan a > b, maka persamaan umum elips adalah :
  
   Jika pusat elips P(0,0) dan a < b, maka persamaan umum elips adalah :
    

D. Persamaan Garis Singgung Elips 

-  Persamaan Garis Singgung Elips dengan Gradien m
https://idschool.net/wp-content/uploads/2018/04/Garis-singgung-elips-dengan-gradien-m.png

-  Persamaan Garis Singgung Elips Melalui Suatu Titik
https://idschool.net/wp-content/uploads/2018/04/Garis-singgung-elips-yang-melalui-suatu-titik.png 
E. Contoh soal :
1). Tentukanlah titik pusat, jari-jari pendek dan panjang dari persamaan elips 4x2 + 9y2 +16x – 18y – 11 = 0
Penyelesaian :
4x2+9y2+16x-18y-11=0
4x2+16x+9y2-18y-11=0
4(x2+4x)+9(y2-2y)-11=0
4(x2+4x+4)+9(y2-2y+1)=11+16+9
4(x+2)2+9(y-1)2=36

Pusat elips (-2,1)
Jari-jari panjang a2 = 9, maka a = √9 = 3
Jari-jari pendek b2 = 4, maka b = √4 = 2

2). Suatu jembatan yang berbentuk elips dibangun di atas jalan raya. Panjang dan ketinggian busur elips jembatan tersebut secara berturut-turut adalah 10 meter dan 6 meter. Apakah truk barang yang lebar dan tingginya secara berturut-turut 5 meter 5,5 meter dapat melewati jembatan tersebut tanpa menyebabkan kerusakan?
 
      Pembahasan :
   Karena panjang busur elips tersebut 10 meter, maka kita peroleh 2p = 10 sehingga p = 10/2 = 5. Sedangkan tinggi dari busur elips tersebut adalah 6 meter, maka q= 6 meter. Dengan menganggap titik pusat elips sebagai titik asal, maka persamaan elips tersebut adalah

   Agar jembatan tersebut dapat dilewati oleh kendaraan secara maksimal, maka kendaraan tersebut harus berada tepat di tengah-tengah jembatan tersebut. Selanjutnya, kita dapat menentukan ketinggian maksimal kendaraan yang dapat masuk, yang bergantung dengan lebar dari kendaraan tersebut.
     Karena lebar truk tersebut 5 meter, maka kita harus menentukan y untuk x = 5/2 = 2,5, yaitu ketinggian maksimum untuk titik 2,5 meter di kiri dan kanan titik pusat elips
 

    Karena tinggi truk barang tersebut 5,5 meter dan ketinggian maksimum jembatan pada titik 2,5 meter di kanan dan kiri titik pusatnya adalah 5,20 meter, maka truk barang tersebut tidak akan bisa melewati jembatan yang dimaksud.



 




























 



 
 
 


POSTER : ELIPS